概率统计习题

一、选择题

1. 随机变量X服从二项分布B(10,0.2)，则（ ） A．EXDX2 B．EXDX1.6 C．EX2，DX1.6 D．EX1.6，DX2

2. X可取无穷多个值0,1,2,，其概率分布为普阿松分布P(3)，则（ ） A．EXDX=3 B．EXDX=

1111 C．EX=3，DX= D．EX=，DX= 33393. 随机向量(X,Y)有DX36,DY25,协方差XY12，则D(XY)()

A．1

B．37 C．61 D．85

4. 设X~B(10, 13), 则D(X)E(X)（ ）

A.1 23B.3

D.

103 1e2x5．已知随机变量X的分布函数为F(x)=x0;则X的均值和方差分别为（ 0其它.(X)=2, D(X)=4 (X)=4, D(x)=2

(X)=

14,D(X)=12 (X)=12, D(X)=14 6．设二维随机变量（X，Y）的分布律为

Y X 0 1 0 1 0 则E（XY）=（ ） A．19 B．0

C．

19 D．13 7．已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为（ ） A．-2 B．0 C．

12 D．2

8．设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为2的指数分布，Y～B(6，12)，则E(X-Y)=（ A．5 B．

122 C．2

D．5

）

） 9．设二维随机变量(X，Y)的协方差Cov(X，Y)=

1，且D(X)=4，D(Y)=9，则X与Y的相关系数6XY为（ ）

A．C．

1 216B．

1 361 6二、填空题

D．1

1. 设X服从二项分布B(n,p)，则D(2X1) 2. 总体X服从N(2,2)，则EX2 3．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

Y 0 1 2X 1 2 则E(XY)

X -1 1 P 4．设随机变量X的分布律为 ，则E(X2)=

1,X0,5.设随机变量X在区间[-1，2]上服从均匀分布。随机变量Y0,X0,则D(Y)

1,X0,6．设随机变量X与Y相互独立，且D(X)0,D(Y)0，则X与Y的相关系数XY 7．设随机变量X与Y相互独立，且D(X)0,D(Y)0，则X与Y的相关系数XY

1，k=1,2,3,4,5，则D(X)= 59.若X~N(3,，则D(X+4)= 8.设随机变量X具有分布P{X=k}=0,10.设Xi=1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100)，且P(A)=, X1，X2，…，X100相互独立，令Y=

Xi1100i，

则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为

111．设随机变量X ~ B18,，则D（X）= 32x,0x1;12．设随机变量X的概率密度为f(x)则E（X）=

0,其他,13．已知E（X）=2，E（Y）=2，E（XY）=4，则X，Y的协方差Cov（X,Y）=

14．设X～N(0，1)，Y=2X-3，则D(Y)= 15．设随机变量X与Y相互独立，其分布律分别为

则E(XY)=

16．设X，Y为随机变量，已知协方差Cov(X，Y)= ，则Cov(2X，3Y)= 17.设随机变量X、Y的概率分布为 则X与Y的

Y 相关系数= -1 0 1 X 三、计算题 1.

设

0 1 X,Y度

为

的联合密

12y2,0yx1。求边际密度函数PX(x),PY(x)；（2）EX,EY；（3）X,Y是否f(x,y)0,其它独立？

2.设离散型随机变量的分布列为

X p -1 0 1 2 求（1）X的分布函数F(x)；（2）P(0.5X1.8)（3）DY。

13. 设随机变量X~U[1,2]，随机变量Y01X0X0，求Y的分布律及DY X0x0,0,x4．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)（1）X的概率密度f(x)；（2）0x8, 求：

8x8.1,D(X)（3）PXE(X)E(X),D(X)；。

85．已知随机变量X，Y的相关系数为XY，若U=aX+b, V=cY+d, 其中ac>0. 试求U，V的相关系数UV。

6．设离散型随机变量X的分布律如下，且已知E（X）=，试求：（1）p1,p2; （2）D（-3X+2）。

设（X，Y）服从在区域D上的均匀分布，其中D为x轴、y轴及x+y=1所围成，

X01求X与Y的协方差Cov(X,Y)。

7．假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X盒，它服从区间[200，400]

pp上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯P积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大？

1 2 axb,8．设随机变量X的概率密度为f(x)0,20x1,其他，，且E(X)=

7.求：(1)常数a,b；(2)D(X)。 1229. 设X~B(10,0.2)，Y~N(1,2)，（1）已知X,Y相互独立，求E(2X3XY4X)；（2）已知XY0.3，求D(XY)。

10.设X服从普阿松分布，已知PX1PX2，求EX,DX。 11. 某射手有3发子弹，射击一次命中的概率为

2，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到3子弹用尽。求（1）耗用子弹数X的分布列；（2）EX,DX。

12. 设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量X（单位：吨），

X~U[2000,4000]，每销售一吨商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出，则每吨商品需贮

存费1万元。问应组织多少货源，才能使国家收益最大？

x1cos,0x13. 设随机变量X的密度为f(x)2，对X独立地重复观察4次，用Y表示观20,其它2的次数，求EY。 314. 设随机变量X和Y的联合分布为 察值大于

0 1 求Cov(X,Y)

15. 设随机变量X和Y的相关系数为0.5，EXEY0,EX第六章 参数估计

一、选择题

1．设总体X~N(,2),X1,X2,,Xn为来自总体X的样本，,2均未知，则2的无偏估计是（ ）

1A．

n11C．

nn2220 1 EY22，求E(XY)2

(Xi1iniX)

21B．

n1(Xi1ni)2

(Xi1X)

21D．

n1(Xi1ni)2

2．设总体X ~ N（,2），其中未知，x1，x2，x3，x4为来自总体X的一个样本，则以下关

ˆ1于的四个估计：哪一个是无偏估计（ ）

1211111ˆ2x1x2x3，ˆ3x1x2，ˆ4x1中，(x1x2x3x4)，4755566ˆ1 B．ˆ2 C．ˆ3 D．ˆ4 A．3. 总体X服从P()，其中0为未知参数,X1,X2,Xn为样本,则下面说法错误的是( )

A．X是EX的无偏估计量 B．X是DX的无偏估计量 C．X是EX的矩估计量 D．X是的无偏估计量

4．矩估计必然是（ ）

(1)无偏估计 (2)总体矩的函数 (3)样本矩的函数 (4)极大似然估计

2ˆ是未知参数的一个估计量，若E(ˆ)，则ˆ是的（ ） 5．设A．极大似然估计 B．矩估计 C．无偏估计 D．有偏估计 二、填空题

n1 1. X1,X2,,Xn是均匀总体U[0,3],0的样本，是未知数，XXi，则的无偏估

ni1计是

ˆ是未知参数的一个估计量，若E(ˆ)= ，则ˆ是的无偏估计。 2. 设3．设总体X~N(,2)，其中2未知，现由来自总体X的一个样本x1,x2,,x9算得样本均值x10，样本标准差s=3，并查得(8)=，则的置信度为95%置信区间是

4．设总体X服从参数为(0)的指数分布，其概率密度为

ˆ= 由来自总体X的一个样本x1,x2,,xn算得样本平均值x9，则参数的矩估计5．设总体X服从参数为（>0）的泊松分布，x1 , x2 , … , xn为X的一个样本，其样本均值x2，ˆ= 则的矩估计值6．设总体X为指数分布，其密度函数为p(x ;)=ex，x>0，x1，x2，…，xn是样本，故的矩法估计= 7．由来自正态总体X～N(，1)、容量为100的简单随机样本，得样本均值为10，则未知参数的置信度为的置信区间是 。(Z0.0251.96,Z0.051.645)

2

8．假设总体X服从参数为的泊松分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其均值为

1n2(XiX)。已知aX(23a)S2为的无偏估计，则a= X，样本方差S=

n1i12

e(x),x9. 设总体X的概率密度为f(x,)，而X1,X2,,Xn是来自X的简单随机样

0,x本，则未知参数θ的矩估计为 10.总体X服从N(,)，其中

2未知，2已知。X1,X2,Xn为其样本，

(XZ0.05n,XZ0.05n)作为的置信区间，其置信水平为

三、计算题

x1ˆ，1．设总体X服从指数分布，即密度函数p(x,)e,x0，其中0，求的矩法估计0,x0并说明它是否是的无偏估计。

2. 总体X~U[0,]，求的矩估计和极大似然估计。 3. 总体X~U[,2]，求的矩估计和极大似然估计。

ex,x04. 设总体X的概率密度为f(x;)，X1,X2,…,Xn为样本，求参数的矩估计

0,x0和极大似然估计。

11,x15.设总体X的分布函数为F(x;)，其中1为未知参数，X1,X2,…,Xn为xx10,样本，求的矩估计和极大似然估计。

exx06．设总体X服从指数分布，其概率密度为f(x,)=，其中0为未知参数，x1,

0x0x2,…,xn为样本，求的极大似然估计。

1xe,x0,7．设总体X的概率密度为f(x,)其中0，X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本.

0,x0,（1）求E(X);（2）求未知参数的矩估计。

8. 某药品每片中有效成分含量X（单位：mg）服从正态分布N(,0.3)。现从该药品中任意抽

取8片进行检验，测得其有效成分含量为

^分别计算该药品有效成分含量均值的置信度为0.9及0.95的置信区间。（x25.85） 9. 已知某市新生婴儿体重X（单位：kg）服从正态分布N(,)。其中,未知，试用该市新生婴儿体重的如下样本

求出该市新生婴儿平均体重的置信度为0.95的置信区间。

10. 某公司欲估计自己生产的电池寿命，现从其产品中随机抽取50只电池做试验，得X2.266（单位：100小时），S1.935，求该公司生产的电池平均寿命的置信系数为95%的置信区间。 11. 自动包装机包装某食品，每袋净重X~N(,)。现随机抽取10袋，测得每袋净重xi（克），（i1,2…，10），计算得

222xi110i5020，xi22520420，若未知，求2的置信度为95%

i110的置信区间，求的置信度为95%的置信区间。

12. 欲比较甲、乙两种棉花品种的优劣，现假设用它们纺出的棉纱强度分别服从N(1,2.18)和

2N(2,1.762)，试验者从这两种棉花中分别抽取X1,X2,…,X200和Y1,Y2,…,Y100，其均值为

X5.32，Y5.76，求12的置信区间。（10.95）

13. 某公司利用两条生产线生产灌装矿泉水，现从生产线上随机抽取样本X1,X2,…,X12和

Y1,Y2,…,Y17，它们是每瓶矿泉水的体积（毫升），其均值为X501.1，Y499.7，样本方差

为S12.4，S24.7，假设这两条生产线灌装的矿泉水的体积分别服从N(1,)和

222N(2,2)，求12的置信区间（10.95）。

四、证明题

1. 设总体X的均值与方差均为未知参数，X1,X2为样本。证明偏估计。

2. 设总体X服从区间[,]上的均匀分布，其中0为未知参数，又X1,X2,…,Xn为样本，

21(X1X2)2为 2的无23n222ˆ证明Xi是的无偏估计。 ni1